Saturday, June 11, 2005

D2: Natureza do Número Áureo

Observação: Diferentemente dos textos anteriores (inclusive o último que apresentava o número áureo), no presente texto eu optei por falar um pouco de matemática mesmo. Dividi o texto em duas partes: a primeira escrevi para um leitor geral; a seguir introduzi um apêndice para fornecer mais informações matemáticas a quem se interessar. Boa leitura.
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O valor 1,618 não é um valor exato, mas uma aproximação. Pode-se obter um valor mais preciso da proporção áurea, com uma calculadora, a partir de sua expressão original.

Aqueles que talvez ainda se lembrem de alguma coisa de suas aulas de matemática, talvez se recordem daquele papo de "conjuntos" e, em particular, dos chamados "conjuntos numéricos", aqueles conjuntos naturais, os inteiros, os racionais, os irracionais e, finalmente, os reais; citados aqui em ordem de complexidade. O número áureo está situado nos irracionais. O famoso número "pi", o número 3, 14 associado às circunferências também é um número irracional, isto é, um número que não pode ser escrito, digamos assim, como "uma fração bonitinha", ou para usar um linguajar mais técnico: "uma fração a partir de dois números inteiros".

Em especial, qualquer raiz quadrada de um número primo não pode ser extraída de forma exata, tal como aconteceria com a raiz quadrada de 4 (que é 2) ou com a raiz de 9 (que é 3) ou até mesmo a raiz de 0,25 que ainda vale exatamente 0,5. Mas a raiz quadrada de um primo nunca é exprimível nesses termos, ou seja, nunca podem ser escritos na forma de "razão" e, portanto, concluí-se que raízes quadradas de primos são "irracionais".

O número áureo é obtido a partir da raiz quadrada de cinco, sendo portanto irracional, afinal cinco é um número primo. Já conversei com alguns professores de matemática que não acreditam tanto assim na beleza do número áureo, pelo simples fato dele ser irracional. Mas acho que existem muitos números na ciência que não são exatos e, ainda assim são belos, tais como o já citado número "pi" (3,1415...). Na Física, podemos citar a constante "c", que representa a velocidade da luz na Teoria de Relatividade de Einstein, e a constante de Planck h, que apareceu pela primeira vez na ciência, no artigo considerado inaugural da Física Quântica, em 1900. Esses números certamente não são inteiros.

O valor exato do número áureo é:

Phi = (Raiz(5) + 1) /2

Se o leitor quiser obter esse número na calculadora, é bastante simples. Pode-se proceder assim:
1) Calcule a raiz quadrada de cinco;
2) Adicione 1 ao resultado;
3) Divida esse último resultado por 2. Esse resultado final é o número áureo Phi.

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Um Apêndice:

Um pouco mais de matemática... (se não gosta de matemática, não prossiga)

Se algum leitor interessado quiser se aventurar um pouco mais na matemática, ele pode tentar fazer os cálculos para o decágono inscrito numa circunferência. O lado l desse decágono é segmento áureo do raio da circunferência circunscrita.

Pode-se demonstrar isso a partir do triângulo isósceles formado pelos raios da circunferência com o lado do decágono. Os ângulos da base valem 72 graus e o ângulo central vale 36 graus, pois 72 + 72 + 36 = 180 graus. A bissetriz de um dos ângulos da base forma um triângulo isósceles menor e semelhante ao primeiro. A partir da semelhança obtem-se:

(R - l) / l = l /R

Que é equivalente à equação de segundo grau:

(l^2) + Rl - (R^2) = 0

Resolvendo essa equação por Báscara, pode-se obter Phi ou (1 - Phi), dependendo se se resolve em relação a R ou l. Dedução semelhante a esta está apresentada mais formalmente, na famosa coleção de "matemática elementar" do Iezzi, volume 9, de Geometria Plana, se não me falha a memória, no capítulo de Polígonos Regulares.

1 comment:

Bla bla said...

Tinha me esquecido como são fascinante esses papos de Exatas...
Profundo como os papos das humanas, mas me mostram um universo completamente novo!
bjo